Эдуард Амбарцумян родился 23 февраля 1986 года в Сочи. В 2002—2004 годах входил в состав юношеской и юниорской сборных России, в 2004 году выиграл чемпионат мира среди юниоров, проходивший в корейском городе Чеджу.
На чемпионате мира в Чикаго дошёл до 1/4 финала, гарантировав себе олимпийскую лицензию. Его соперник по финалу венгр Дьюла Кате получил рассечение уже в первом раунде и был снят врачом с соревнований, а Эдуард Амбарцумян был провозглашён чемпионом Европы.
В 2009 году завершил свою спортивную карьеру и перешёл на тренерскую работу в СДЮШОР по боксу города Сочи.